Арифметична прогресія

Означення

Арифметична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на одне й те саме число. Це стале число називають різницею прогресії ($d$).

Основні поняття та рекурентна формула

Якщо нам відомий перший член $a_1$ та різниця $d$, ми можемо знайти будь-який наступний член за правилом: $a_{n+1}=a_n+d$.

• Якщо $d>0$ — прогресія зростаюча (наприклад: 2, 5, 8...).

• Якщо $d<0$ — прогресія спадна (наприклад: 10, 7, 4...).

Ключові формули

Для швидких обчислень без виписування всіх чисел послідовності використовують спеціальні формули:

• Формула n-го члена: Дозволяє знайти будь-який член за його номером:
  

  $a_n=a_1+(n-1)d$

  
  

• Характеристична властивість: Кожен член прогресії (крім крайових) є середнім арифметичним своїх сусідів:
  

  $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

  
  

Сума перших n членів прогресії

Існує два способи обчислення суми $S_n$ залежно від наявних даних:

1. Через перший та останній члени:
   

   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

   
   

2. Через перший член та різницю:
   

   $S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

   
   

Приклади застосування

Арифметична прогресія зустрічається всюди: від розрахунку виплат за кредитом з рівним зменшенням тіла боргу до визначення кількості цеглин у стіні, де кожен ряд має на одну цеглину менше.