Тіла обертання: циліндр, конус, куля та сфера

Означення

Тіла обертання — це об'ємні фігури, що виникають при обертанні плоских геометричних фігур навколо певної осі. Вони мають криволінійні поверхні, але їхні характеристики легко обчислити через радіус та висоту.

Циліндр

Циліндр утворюється шляхом обертання прямокутника навколо однієї з його сторін.

• Елементи: дві паралельні основи (круги) та бічна поверхня. Відрізок, що з'єднує відповідні точки кіл основ, називається твірною ($l$). У прямого циліндра $l=H$.

• Осьовий переріз: прямокутник зі сторонами $2R$ та $H$.

Формули для циліндра:

• Площа бічної поверхні: $S_{\text{біч}}=2\pi RH$

• Площа повної поверхні: $S_{\text{повн}}=2\pi R(R+H)$

• Об'єм: $V=\pi R^{2}H$

Конус

Конус утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів.

• Елементи: вершина, основа (круг) та бічна поверхня.

• Зв'язок елементів: Твірна $l$, радіус $R$ та висота $H$ пов'язані теоремою Піфагора: $l^2=R^2+H^2$.

Формули для конуса:

• Площа бічної поверхні: $S_{\text{біч}}=\pi Rl$

• Об'єм: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$

Куля та сфера

Куля утворюється обертанням півкруга навколо його діаметра. Сфера — це лише «оболонка» кулі.

• Переріз: Будь-який переріз кулі площиною є кругом. Якщо площина проходить через центр, утворюється великий круг.

Формули для кулі:

• Площа поверхні сфери: $S=4\pi R^2$

• Об'єм кулі: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Порівняння об'ємів

Цікавий факт: якщо циліндр, конус і куля мають однаковий радіус $R$, а висота циліндра та конуса дорівнює діаметру кулі ($H=2R$), то їхні об'єми відносяться як 1 : 2 : 3 (конус : куля : циліндр).