Логарифмічні вирази

Означення

Логарифмом числа $b$ за основою $a$ ( $l o g_{a} b$ ) називають такий показник степеня $c$ , до якого треба піднести основу $a$ , щоб отримати число $b$ .

$l o g_{a} b = c \Rightarrow a^{c} = b$

Обов'язкові умови (ОДЗ): $b > 0$ , $a > 0$ та $a \neq = 1$ .

Спеціальні види логарифмів

В математиці часто використовують два особливі види логарифмів:

Десятковий логарифм: логарифм за основою $10$ , позначається як $l g b$ .
Натуральний логарифм: логарифм за основою $e$ (число Ейлера, $e \approx 2, 72$ ), позначається як $l n b$ .

Основні властивості логарифмів

Властивості логарифмів дозволяють спрощувати складні вирази та обчислювати їхні значення:

Назва властивості	Формула	Приклад
Основна тотожність	$a^{l o g_{a} b} = b$	$1 7^{l o g_{17} 3} = 3$
Логарифм одиниці	$l o g_{a} 1 = 0$	$l o g_{2} 1 = 0$
Логарифм основи	$l o g_{a} a = 1$	$l o g_{5} 5 = 1$
Логарифм добутку	$l o g_{a} b c = l o g_{a} b + l o g_{a} c$	$l g 2 + l g 5 = l g 10 = 1$
Логарифм частки	$l o g_{a} \frac{b}{c} = l o g_{a} b - l o g_{a} c$	$l o g_{23} 46 - l o g_{23} 2 = 1$
Логарифм степеня	$l o g_{a} b^{r} = r l o g_{a} b$	$2 l o g_{3} 7 = l o g_{3} 49$

Перехід до нової основи

Якщо потрібно змінити основу логарифма для спрощення обчислень, використовують формулу:

$l o g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$

Також корисною є властивість взаємно обернених логарифмів: $l o g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$ або $l o g_{a} b \cdot l o g_{b} a = 1$ .

Приклади обчислень

За означенням: $l o g_{2} 8 = 3$ , оскільки $2^{3} = 8$ .
З від'ємним показником: $8^{- 2 l o g_{8} 5} = (8^{l o g_{8} 5})^{- 2} = 5^{- 2} = \frac{1}{25}$ .
Використання суми: $l o g_{3} 45 = l o g_{3} (9 \cdot 5) = l o g_{3} 9 + l o g_{3} 5 = 2 + l o g_{3} 5$ .