Раціональні нерівності

Означення

Раціональною нерівністю називають нерівність виду $f (x) < g (x)$ , де обидві частини є раціональними виразами. Більшість таких завдань зводяться до вигляду алгебраїчного дробу $\frac{P ( x )}{Q ( x )} > 0$ (або $<, \geq, \leq$ ).

Метод інтервалів — основний інструмент

Головна ідея полягає в тому, що раціональна функція може змінювати знак лише в точках, де вона дорівнює нулю або не існує.

Алгоритм розв’язання:

Зведення до нуля: Перенесіть усі доданки в ліву частину, щоб справа залишився нуль.
Граничні точки: Знайдіть нулі чисельника ( $P (x) = 0$ ) та нулі знаменника ( $Q (x) = 0$ ).
Числова пряма: Позначте ці точки на осі.
- Точки знаменника — завжди порожні (виколоті).
- Точки чисельника — зафарбовані для нестрогих нерівностей ( $\geq, \leq$ ) та порожні для строгих ( $>, <$ ).
Визначення знаків: Визначте знак на правому інтервалі та чергуйте їх (справа наліво), враховуючи кратність коренів.
Відповідь: Оберіть проміжки, що відповідають знаку нерівності.

Нюанси та правила чергування

Ситуація	Правило
Кратність коренів	Якщо корінь у парному степені (наприклад, $(x - 3)^{2}$ ), знак при переході через точку не змінюється.
Завжди додатні вирази	Вирази типу $x^{2} + 3$ можна відкинути (поділити на них), бо вони не впливають на знак.

Приклад розв'язання

Для нерівності $\frac{x - 5}{x + 2} < 0$ :

Граничні точки: $5$ та $- 2$ (обидві порожні).
На інтервалі $(- 2; 5)$ функція набуває від’ємних значень.
Відповідь: $x \in (- 2; 5)$ .

Типові пастки

ОДЗ: Включення нулів знаменника у відповідь (навіть при знаках $\geq, \leq$ ).
Зміна знака: Забувають змінити знак нерівності при множенні обох частин на від'ємне число.
Нерівності з одиницею: Спроба помножити на знаменник замість перенесення одиниці в ліву частину та зведення до спільного знаменника.