Тригонометричні вирази

Означення

Тригонометричні вирази — це вирази, що містять змінні під знаками тригонометричних функцій: синуса ($\sin$), косинуса ($\cos$), тангенса ($\mathrm{tg}$) та котангенса ($\mathrm{ctg}$). Їхнє спрощення базується на фундаментальних тотожностях та властивостях періодичності.

Основні тригонометричні тотожності

Ці співвідношення дозволяють виражати одну функцію через іншу при однаковому аргументі:

• Основна тотожність: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

• Зв'язок функцій: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ та $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

• Добуток: $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$.

Властивості та знаки функцій

Для спрощення виразів важливо враховувати чверть, у якій лежить кут:

Парність та непарність:

• Косинус — парна функція: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$.

• Синус, тангенс і котангенс — непарні: $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, $\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$.

Формули подвійного кута

Використовуються для перетворення складних аргументів у простіші вирази:

• Синус: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$.

• Косинус: $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$.

• Тангенс: $\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$.

Формули зведення

Дозволяють переходити від великих кутів до гострих кутів $\alpha$:

• Якщо аргумент має вигляд $\frac{\pi }{2}\pm \alpha$ або $\frac{3\pi }{2}\pm \alpha$, назва функції змінюється на кофункцію.

• Якщо аргумент $\pi \pm \alpha$ або $2\pi \pm \alpha$, назва не змінюється.

• Знак: ставиться такий, який мала вихідна функція у відповідній чверті.

Приклад: $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$ (III чверть, косинус від'ємний).

Таблиця значень для основних кутів