Лінійні нерівності

Означення

Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність виду $ax>b$, $ax<b$, $ax\ge b$ або $ax\le b$, де $a$ і $b$ — числа, а $x$ — змінна.

Основні правила розв’язання

Процес розв'язання базується на трьох головних правилах:

• Перенесення доданків: будь-який член нерівності можна перенести в іншу частину, змінивши його знак на протилежний. Знак нерівності не змінюється.

• Додатний множник/дільник: при множенні або діленні на додатне число знак нерівності залишається незмінним.

• Від’ємний множник/дільник (Головна пастка): якщо обидві частини множити або ділити на від’ємне число, знак нерівності обов'язково змінюється на протилежний (наприклад, з $<$ на $>$).

Запис результату та числові проміжки

Розв'язок нерівності зображують на координатній прямій та записують у вигляді проміжку:

• Круглі дужки $()$: для строгих нерівностей ($<,>$), точка на прямій «виколота».

• Квадратні дужки $[]$: для нестрогих нерівностей ($\le ,\ge$), точка на прямій зафарбована.

Приклади розв’язання

1. Проста нерівність

$-2y-100<0$
1. Переносимо $-100$: $-2y<100$.
2. Ділимо на $-2$ (змінюємо знак): $y>-50$.
Відповідь: $y\in (-50;+\infty )$.

2. З використанням дужок

$2(9-3y)+4(9-y)\ge 60$
1. Розкриваємо дужки: $18-6y+36-4y\ge 60$.
2. Зводимо подібні: $-10y+54\ge 60$.
3. Переносимо числа: $-10y\ge 6$.
4. Ділимо на $-10$ (змінюємо знак): $y\le -0,6$.
Відповідь: $y\in (-\infty ;-0,6]$.

Типові помилки

• Забувають змінити знак нерівності при діленні на від’ємне число.

• Плутають тип дужок (круглі/квадратні) при записі відповіді.

• Неправильно позначають напрямок штрихування на числовій прямій.