Раціональні рівняння

Означення

Раціональне рівняння — це рівняння, у якому ліва і права частини є раціональними виразами. Раціональний вираз складається з чисел та змінних за допомогою арифметичних операцій та піднесення до натурального степеня.

Види раціональних рівнянь

Залежно від структури виразів, рівняння поділяють на два типи:

Тип рівняння	Особливість	Приклад
Ціле	Не містить змінної в знаменнику дробу.	$5 t + 6 = 4 t - 7$
Дробове	Містить змінну в знаменнику хоча б одного дробу.	$\frac{4}{x} = 11$

Алгоритм розв’язання дробових рівнянь

Для розв’язання використовують таку послідовність кроків:

Перенесення: Перенести всі доданки в ліву частину, щоб справа залишився нуль.
Зведення: Звести дроби до спільного знаменника, отримавши вигляд $\frac{p ( x )}{q ( x )} = 0$ .
Умова рівності: Прирівняти чисельник до нуля ( $p (x) = 0$ ) і врахувати, що знаменник не може дорівнювати нулю ( $q (x) \neq = 0$ ).
Фільтрація: Розв’язати отримане ціле рівняння та виключити корені, які не входять до ОДЗ (перетворюють знаменник на нуль).

Приклад розв’язання

Розв’яжемо рівняння $\frac{3}{x - 1} + 2 = \frac{4 - x}{x - 1}$ :

ОДЗ: $x - 1 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1$ .
Спільний знаменник: $x - 1$ . Після множення обох частин на нього: $3 + 2 (x - 1) = 4 - x$ .
Розв’язання: $3 + 2 x - 2 = 4 - x \Rightarrow 3 x = 3 \Rightarrow x = 1$ .
Перевірка: Оскільки отримане число $1$ не задовольняє ОДЗ, рівняння коренів не має.

Застосування: моделювання реальних ситуацій

Процес розв’язання прикладних задач складається з трьох етапів: побудова моделі (складання рівняння), робота з моделлю (розв’язання) та аналіз відповіді (відкидання значень, що не мають фізичного змісту).

Тип задачі	Логіка та модель
На рух (поїзд)	Порівняння часу: різниця між плановим ( $\frac{60}{x}$ ) та фактичним ( $\frac{60}{x + 10}$ ) часом. Рівняння: $\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{12}$ .
На роботу (басейн)	Додавання продуктивності: сума часток роботи за одиницю часу для двох труб. Рівняння: $\frac{1}{x - 40} + \frac{1}{x} = \frac{1}{21}$ .

Важливо: при складанні моделі необхідно зводити всі величини до однакових одиниць виміру та обов’язково перевіряти отримані корені на відповідність логіці умови (наприклад, швидкість не може бути від’ємною).

Рівняння з параметрами та типові помилки

При розв’язанні рівнянь із параметрами важливо розглядати випадки, коли коефіцієнт при невідомому перетворюється на нуль. Типові помилки учнів:

Не враховують ОДЗ змінної та параметра.
Ділять на вираз із параметром без перевірки, чи не дорівнює він нулю.
Ігнорують випадок, коли рівняння стає лінійним (якщо параметр при $x^{2}$ дорівнює нулю).