Тригонометричні рівняння

Означення

Тригонометричне рівняння — це рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції. Найпростіші тригонометричні рівняння мають вигляд $sin x = a$ , $cos x = a$ , $t g x = a$ , $ct g x = a$ .

Загальні формули розв’язання

Розв’язання основних рівнянь для $∣ a ∣ \leq 1$ (для синуса і косинуса) та будь-яких дійсних $a$ (для тангенса і котангенса):

Рівняння	Загальна формула коренів
$sin x = a$	$x = (- 1)^{k} arcsin a + πk, k \in Z$
$cos x = a$	$x = \pm arccos a + 2 πn, n \in Z$
$t g x = a$	$x = arctan a + πk, k \in Z$
$ct g x = a$	$x = arcctg a + πn, n \in Z$

Частинні випадки (рівність 0, 1, -1)

Для деяких значень $a$ використовуються спрощені формули:

Для $sin x$ :
$sin x = 0 \Rightarrow x = π l$ ;
$sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 πn$ ;
$sin x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{2} + 2 πk$ .
Для $cos x$ :
$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + π l$ ;
$cos x = 1 \Rightarrow x = 2 πn$ ;
$cos x = - 1 \Rightarrow x = π + 2 πk$ .

Основні методи розв’язання складних рівнянь

Метод введення нової змінної: наприклад, рівняння $2 sin^{2} x - 5 sin x + 2 = 0$ зводиться до квадратного шляхом заміни $z = sin x$ .
Метод розкладання на множники: якщо $f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = 0$ , воно розбивається на простіші. Важливо враховувати ОДЗ (наприклад, для тангенса).
Зведення до однієї функції: використання тотожностей, наприклад $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ .

Вирішення за допомогою тригонометричного кола

Використання тригонометричного (одиничного) кола дозволяє візуалізувати корені:

Принцип: Для $cos x = a$ шукаємо точки на колі з абсцисою $a$ . Для $sin x = a$ — з ординатою $a$ (для повного розуміння метода краще переглянути декілька відео на ютубі).
Переваги: Значення $0, 1, - 1$ миттєво знаходяться на осях. Коло допомагає визначити чверті та знаки коренів, а також легко перевірити правила зведення через поворот точки. Не треба зазубрювати формули для кожної тригонометричної функції.