Перетворення графіків функцій

Означення

Геометричні перетворення дозволяють будувати графіки складних функцій, базуючись на найпростіших «батьківських» формах (таких як $y=x^2$ або $y=\sin x$). Це значно спрощує аналіз функцій без необхідності будувати їх по точках.

Паралельне перенесення (зсув)

Ці перетворення переміщують графік у площині без зміни його форми:

• Вертикальне ($y=f(x)\pm b$): Графік зсувається вздовж осі $Oy$ на $b$ одиниць: угору при додаванні та вниз при відніманні.

• Горизонтальне ($y=f(x+a)$): Графік зсувається вздовж осі $Ox$: ліворуч, якщо $a>0$, і праворуч, якщо $a<0$.

Розтягнення та стискання

Змінюють «крутизну» або «ширину» графіка:

• Вертикальне ($y=k\cdot f(x)$): При $k>1$ графік розтягується від осі $Ox$; при $0<k<1$ — стискається до неї.

• Горизонтальне ($y=f(k\cdot x)$): При $k>1$ графік стискається до осі $Oy$; при $0<k<1$ — розтягується від неї.

Симетричне відображення та модуль

Дозволяють дзеркально відобразити функцію:

• Відносно $Ox$ ($y=-f(x)$): Переворот «догори ногами».

• Відносно $Oy$ ($y=f(-x)$): Переворот зліва направо.

• $y=|f(x)|$: Нижня частина графіка (де $y<0$) симетрично відбивається вгору.

• $y=f(|x|)$: Права частина залишається незмінною та копіюється ліворуч.

Порядок виконання перетворень

Якщо у виразі поєднуються кілька перетворень, наприклад $y=mf(k(x+a))+b$, рекомендується такий алгоритм:

1. Побудова базового графіка $y=f(x)$.

2. Горизонтальне розтягнення/стискання ($k$) та відображення ($-$).

3. Горизонтальний зсув ($a$).

4. Вертикальне розтягнення/стискання ($m$).

5. Вертикальний зсув ($b$).