Раціональні та ірраціональні вирази

Алгебраїчні вирази поділяються на дві основні групи: раціональні та ірраціональні. Раціональні вирази містять лише дії додавання, віднімання, множення, піднесення до цілого степеня та ділення. Якщо ж змінна міститься під знаком кореня (радикала), такий вираз називають ірраціональним.

Види раціональних виразів

Залежно від наявності ділення на змінну, раціональні вирази бувають двох видів:

Прикладом дробового виразу є $\frac{x-3}{x(x+8)}$, де ОДЗ — всі числа, крім $0$ та $-8$, оскільки ці значення перетворюють знаменник на нуль.

Особливості ірраціональних виразів

В ірраціональних виразах ключовим є показник кореня, який визначає обмеження для змінної:

• Парний показник ($n=2,4,\dots$): підкореневий вираз має бути невід’ємним ($\ge 0$).

• Непарний показник ($n=3,5,\dots$): підкореневий вираз може набувати будь-яких дійсних значень.

Наприклад, вираз $\sqrt{x-3}$ має зміст лише при $x\ge 3$, тоді як $\sqrt[3]{x-3}$ визначений для будь-якого $x$.

Методи спрощення виразів

Для спрощення раціональних та ірраціональних виразів використовують такі підходи:

• Скорочення раціональних дробів: чисельник і знаменник ділять на спільний множник. Наприклад, $\frac{26abc}{169ac}=\frac{2b}{13}$.

• Звільнення від ірраціональності: множення чисельника та знаменника на вираз, спряжений до знаменника.

• Формули скороченого множення: використання тотожностей, як-от $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, для розкладання на множники.

• Спрощення радикалів: винесення множника з-під знака кореня або використання властивості $\sqrt{x^2}=|x|$.