Системи рівнянь

Означення

Система рівнянь — це сукупність рівнянь, для яких потрібно знайти спільні розв’язки. Розв’язком системи є впорядкована пара значень $(x; y)$ , яка одночасно задовольняє кожне рівняння системи.

Методи розв’язання систем

Вибір методу залежить від вигляду рівнянь та зручності обчислень:

Метод підстановки: виражаємо одну змінну через іншу та підставляємо в інше рівняння. Найкраще працює, якщо коефіцієнт при змінній дорівнює 1 або -1.
Метод алгебраїчного додавання (віднімання): множимо початкові рівняння на деякі числа так, щоб при додаванні (відніманні) одна зі змінних скоротилася (коефіцієнти стали протилежними).
Графічний метод: будуємо графіки обох рівнянь. Точка їх перетину — це розв'язок.

Аналіз кількості розв’язків

Для системи вигляду кількість розв’язків залежить від співвідношення коефіцієнтів:

Умова	Графічна інтерпретація	Кількість розв’язків
$\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$	Прямі перетинаються	Один розв’язок
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	Прямі паралельні	Жодного розв’язку
$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$	Прямі збігаються	Безліч розв’язків

Приклад: Метод додавання

Розв’яжемо систему: ${3 x - y = 9 2 x + y = 11$

Додаємо рівняння почленно (оскільки $- y$ та $+ y$ скоротяться):
$5 x = 20 \Rightarrow x = 4$ .
Підставляємо $x = 4$ у друге рівняння:
$2 \cdot 4 + y = 11 \Rightarrow 8 + y = 11 \Rightarrow y = 3$ .

Відповідь: $(4; 3)$ .