Дійсні числа та найпростіші текстові задачі

Класифікація числових множин

Усі числа в математиці поділяються на певні множини, які вкладаються одна в одну (натуральні є частиною цілих, цілі — частиною раціональних тощо).

Позначення	Назва	Характеристика	Приклади
$N$	Натуральні	Числа, що вживаються при лічбі.	$1, 2, 3$
$Z$	Цілі	Натуральні, протилежні їм та нуль.	$- 2, 0, 5$
$Q$	Раціональні	Можна подати як відношення $\frac{m}{n}$ .	$\frac{3}{4}; - 2; 2, 8$
$I$	Ірраціональні	Нескінченні неперіодичні десяткові дроби.	$2, π$

Будь-яке ціле число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу, наприклад: $2 = 2, (0)$ . Натомість ірраціональні числа, як-от $3$ , неможливо виразити у вигляді простого дробу.

Метод складання рівнянь для текстових задач

Для розв'язання текстових задач найзручніше використовувати метод складання рівнянь. Це дозволяє знайти невідомі величини через задану залежність (сума, різниця або відношення).

Алгоритм розв’язання

Вибір змінної: Позначити одну з невідомих величин (краще найменшу) буквою $x$ .
Побудова моделі: Виразити інші величини через $x$ згідно з умовою.
Складання рівняння: Сформулювати вираз на основі відомих співвідношень.
Аналіз результату: Перевірити, чи відповідає корінь логіці (наприклад, кількість людей не може бути дробовою або від'ємною).

Приклади задач за типами

1. Задачі на рух

Використовується формула відстані $s = v \cdot t$ . При русі по річці:

Швидкість за течією: $v_{власна} + v_{течії}$ .
Швидкість проти течії: $v_{власна} - v_{течії}$ .

Приклад: Човен проплив 18 км проти течії вдвічі швидше за часом, ніж 48 км за течією. Якщо швидкість течії 2,5 км/год, рівняння: $\frac{48}{x + 2 , 5} = \frac{18 \cdot 2}{x - 2 , 5}$ , де $x = 17, 5$ км/год.

2. Задачі на роботу

Об'єм роботи відповідає відстані, а продуктивність — швидкості. Формула продуктивності: $P = \frac{W or k}{t im e}$ .

Приклад: Перша труба наповнює басейн на 40 хв швидше за другу, а разом вони працюють за 21 хв. Модель: $\frac{1}{x - 40} + \frac{1}{x} = \frac{1}{21}$ , де $x$ — час другої труби.

3. Задачі на відсотки

Відсоток від числа обчислюється як $a \cdot \frac{p}{100}$ .

Приклад: На клумбі висадили $125$ кущів. Кількість рядів на 20 менша за кількість кущів у ряду. Рівняння: $x (x - 20) = 125$ , де в одному ряду 25 кущів. Якщо 16% ушкоджено, то неушкодженими залишилося $25 \cdot 0, 84 = 21$ кущ.