Первісна та визначений інтеграл

Складність: •••••

Означення

Первісна — це функція $F (x)$ , похідна якої дорівнює заданій функції $f (x)$ , тобто $F^{'} (x) = f (x)$ . Процес знаходження первісної є дією, оберненою до диференціювання.

Невизначений інтеграл

Оскільки похідна від будь-якої сталої (константи) дорівнює нулю, одна функція має безліч первісних. Множину всіх таких функцій називають невизначеним інтегралом:

\int f (x) d x = F (x) + C

де $C$ — довільна стала.

Визначений інтеграл

Це число, яке дорівнює приросту первісної на відрізку $[a; b]$ . Для його обчислення використовують формулу Ньютона-Лейбніца:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Застосування в математиці та фізиці

Геометричний зміст: Якщо $f (x) \geq 0$ на відрізку $[a; b]$ , то визначений інтеграл чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції та віссю $O x$ .
Фізичний зміст: Якщо відома функція швидкості $v (t)$ , то пройдений шлях $s$ за час від $t_{1}$ до $t_{2}$ обчислюється через інтеграл: $s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$ .

Таблиця основних первісних

Функція $f (x)$	Загальний вигляд первісних $F (x) + C$
$k$ (стала)	$k x + C$
$x^{n} (де n \neq = - 1)$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$
$sin x$	$- cos x + C$
$cos x$	$sin x + C$