Геометрична прогресія

Означення

Геометрична прогресія — це числова послідовність, у якій кожне наступне число отримується шляхом множення попереднього на сталий множник $q$ (знаменник). На відміну від арифметичної прогресії, де числа ростуть лінійно, тут ми маємо справу з експоненціальним зростанням або спаданням.

Основні характеристики та види

Поведінка прогресії повністю залежить від знаменника $q$:

• Зростаюча: $|q|>1$ (наприклад: 2, 6, 18, 54...).

• Спадна: $|q|<1$ (наприклад: 8, 4, 2, 1...).

• Знакозмінна: $q<0$ (члени постійно змінюють знак: 5, -10, 20, -40...).

Ключові формули

Для роботи з геометричною прогресією використовують такі математичні інструменти:

• Формула n-го члена: Дозволяє знайти будь-який член послідовності за його номером:
  

  $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

  
  

• Характеристична властивість: Квадрат середнього члена дорівнює добутку його «сусідів»:
  

  $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

  
  

Обчислення суми

Залежно від кількості членів та значення знаменника, використовують різні підходи:

1. Сума перших $n$ членів:
   

   $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1},q\ne 1$

   
   

2. Нескінченна спадна прогресія: Якщо $|q|<1$, то сума нескінченної кількості членів прямує до конкретного числа:
   

   $S=\frac{b_1}{1-q}$

   
   

Практичне значення

Геометрична прогресія — це основа для розрахунку складних відсотків у банках, моделювання розмноження бактерій або ланцюгових ядерних реакцій. Також вона допомагає перетворювати нескінченні періодичні дроби (наприклад, $0,(3)$) у звичайні.